广义相对论笔记(一)

广义相对论的物理基础

Posted by Y.M. Xu on June 11, 2016

这篇文章是赵峥先生和刘文彪先生合著的《广义相对论基础》的读书笔记,一部分是本书中和其他相关书籍内容的记录,一部分是自己的感悟

1 狭义相对论的成就与困难

1.1 狭义相对论的建立

哲学家们对牛顿力学中绝对时空观的怀疑,天文学中的光行差、迈克尔逊实验、斐佐实验和以太论之间的矛盾就不用多说了,任何一本科普书上都会提到。另外一个重要的矛盾是麦克斯韦电磁理论中的一个重要结论是光速 $c$ 在任何惯性系中都是常数,这与伽俐略变换是相悖的。

值得注意的是,当时麦克斯韦电磁理论和相对性原理都经过了大量实验验证,而伽俐略变换是相对性原理的数学体现。要想放弃任何一个都不容易,但是爱因斯坦最后和好友贝索的讨论中意识到应该相信得到实验支持的麦克斯韦电磁理论,坚信 $c$ 不仅是一个常数,还与惯性系的选择无关。在这之后,就理所当然的能想到伽俐略变换不等价于相对论原理,于是爱因斯坦保留了相对性原理,把它和光速不变一起作为了狭义相对论的基础。

另外,提出光速不变也不是容易的事,如果这一理论成立,就意味着“同时”概念的混乱(在一个参考系 $S$ 中同时发生的两个事件,在另一个以速度 $v$ 相对 $S$ 运动 $S^\prime$ 参考系中是一先一后的),对人们来说很难理解,爱因斯坦也是在这个问题上卡住了很久。在与贝索的讨论中,爱因斯坦意识到这和人们默认的同时的绝对性有关,于是他把同时看做相对的,从“光速的绝对性”出发来定义“同时”,一切都迎刃而解。

爱因斯明确坦强调他的狭义相对论和经典物理学的根本区别不在于相对性原理,因为伽俐略和牛顿都赞同相对性原理。他认为根本的区别在于他提出的光速不变原理,这一原理才是狭义相对论和经典物理的分水岭。(所以有人建议“相对论”应该改成“绝对论”,😄)

题外话:从这里可以看到在狭义相对论中“光速的绝对性”占据了核心的地位.在生活中有很多人借助相对论来阐述“一切都是相对的”,这种观点是不恰当的。

爱因斯坦从光速不变和相对性原理出发,得到了联系不同惯性系的洛伦兹变换

在指出同时的相对性后,他又提出“动尺收缩”、“时间延缓”和“质能关系”等表明。后来又在闵可夫斯基的帮助下,把电磁理论和动力学定律写成了四维协变的张量形式。

意义: 洛伦兹变换表明,时间和空间存在内在联系,“能动量张量”的表达式和“质能关系”表明质量和运动不可分割

1.2 光速在相对论中的核心地位

光速在相对论的理论体系中处于核心地位,主要有两个作用:

  1. 约定真空中的光速各向同性而且是一个常数,从而校准了静置于空间各点的钟🕓,使它们“同时”或“同步”,进而在全空间定义了统一的时间。
  2. 把“光速不变原理”作为一条公理,在此公理与相对性原理的基础上,构建起狭义相对论的大厦🏫.

解释:

(1)“约定”真空中的光速

庞加莱指出,要想“对准”两地的钟,必须先对信号传播速度有一个“约定”。是因为当时已知任何信号📶传递都需要时间;要想校准两地的钟,必须知道两地的距离和信号传播的时间,而确定信号传播的时间又需要对好两地的钟,造成了逻辑上的循环

爱因斯坦在《论物体运动的电动力学》中依靠光速不变建立起了全空间统一的时间。

(2)把“光速不变原理”作为一条公理

“光速的约定”:在一个确定的惯性系中光速各向同性而且是一个常数

“约定”和把“光速不变”视作“原理”,等价于对时空对称性的约定

“约定”相当于约定时间的均匀性空间的均匀性各向同性,“光速不变原理”则对应着时空的 Boost 对称性

1.3 狭义相对论的困难

狭义相对论有两个困难:

  1. 惯性系无法定义。 牛顿理论中,惯性系的定义靠惯性定律,惯性定律的定义要用到惯性系,形成了循环论证
  2. 万有引力定律无法写成洛伦兹协变形式

2 等效原理与广义相对性原理

在试图克服这两个问题的时候,爱因斯坦抓住了 等效原理 这个金钥匙

2.1 广义相对性原理

既然无法定义,爱因斯坦直接取消了惯性系在相对论中的特殊地位,假定相对性原理光速不变原理对任何参考系都成立,被推广为广义相对性原理

“一切参考系都是平权的,物理定律在任何参考系下形式都不变,即具有广义协变性。”

然后首要的问题是如何处理惯性力惯性力具有两个特点:

  1. 不起源于物质间的相互作用,因而没有反作用力
  2. 惯性力与物质的质量成正比,因此它所拖动的物体的加速度与该物体的成分无关。

第一个特点至今仍使人迷惑,第二个特点使人想到万有引力

2.2 水桶实验和马赫原理

水桶实验中,牛顿认为水的惯性离心力与桶的转动无关,那么就与绝对空间有关。 Bucket_Experiment

而马赫则认惯性离心力是水相对应全宇宙物质运动的结果。

惯性力的起源问题至今还没有搞清楚,牛顿水桶实验的疑难至今都存在。

2.3 引力质量与惯性质量相等

牛顿力学中质量可以从两个角度引入:

  1. 牛顿认为质量是物质的量,反应产生和接受引力的能力:
  2. 牛顿还认为质量与物体的惯性成正比,可以用惯性的动力学效应来定义:

牛顿力学中,这两种定义并无内在关系,但是对于一切物质,引力质量惯性质量之比都为常数,牛顿曾经用不同材质的等重小球做过单摆实验,发现周期与材质无关,至今一切实验都没有测出 $m_g$ 和 $m_I$ 的区别。比较自然的理解是:

引力质量和惯性质量可能是同一个东西

2.4 等效原理

引力质量与惯性质量相等的推论是 中 $g=a$ 成立,它表明引力场与惯性场等效,我们称为等效原理等效原理是指引力质量与惯性质量等效,而不是引力质量与惯性质量相等

引力场和惯性场的不同之处:

  1. 引力场和惯性场在大范围,或者说有限大小的时空范围内不等效。引力场和惯性场只在局部的、无穷小的时空范围内等效。
  2. 引力场对时空产生内禀效应,使时空弯曲,而惯性场不产生这种效应,不改变时空曲率。
  3. 引力产生于物体间的相互作用,有反作用力;惯性力与物体的相互作用无关,没有反作用力。
  4. 惯性场可以通过一个整体坐标变换加以消除,引力场却不能,所以引力场称为永久引力场,惯性场称为非永久引力场

上述差别告诉我们:

等效原理是一个局域性原理(局域指的是时空点的无穷小邻域,不是指空间点的邻域)

后人进一步把等效原理写成强弱两种形式:

  1. 弱等效原理:引力场与惯性场的力学效应是局域不可分辨的
  2. 强等效原理:引力场与惯性场的一切物理效应都是局域不可分辨的

作为广义相对论基础的是强等效原理,而不只是弱等效原理。弱等效原理等价于“引力质量与惯性质量相等”,因而经历过大量严格的实验检验;强等效原理是更强的假设,没有经历$m_g=m_I$那样严格的实验检验。

无引力场太空中静止或匀速直线运动的参考系和引力场中自由下落、无自转、无穷小参考系都是严格的惯性系,但是前者是不可能实现的,后者理论上可以实现。

费米后来证明:

从几何的角度讲,就是沿测地线做费米移动(即无自转)的无穷小参考系,可以一直保持是一个局部惯性系。

另一方面,引力场中这类自由下落的惯性系在外部观测者来看是加速参考系,可见加速运动没有绝对意义


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