物理学中用到的数学(一)

$R^3$空间中的向量分析

Posted by Y.M. Xu on June 16, 2016

本系列内容是《数学物理方法》(梁昆淼)和《物理学家用的张量和群论导论》(Nadir Jeevanjee)两本书的读书笔记,以后可能还会加入其它书籍的内容,希望能总结一物理研究中用到的数学。

本章内容总结自《数学物理方法》(梁昆淼)

1. 向量(vector)

有方向和大小的量称为向量

向量$A$、$B$的标量积:

向量$A$、$B$的矢量积:

向量是几何空间中客观存在的量,它是不依赖于坐标系而客观存在的,正如我们物理世界中的物理规律也是不依赖于坐标系选取的。正是由于这种“不依赖坐标系选择”的共同特征,使得我们用向量空间来描述物理规律成为可能。

定量研究时需要引入坐标系,对于同一向量,由于它是空间中客观存在的量,所以在不同坐标系下的描述是等价的。

2. $R^3$ 空间中的向量代数

$R^3$空间就是三维 Euclidean (欧几里得)空间,即三维正交实向量空间

引入 Descartes 坐标系

$R^3$ 空间中向量合成法则

定义向量 $\overrightarrow{A} = A_1\overrightarrow{e_1} + A_2\overrightarrow{e_2} + A_3\overrightarrow{e_3}$,$\overrightarrow{B} = B_1\overrightarrow{e_1} + B_2\overrightarrow{e_2} + B_3\overrightarrow{e_3}$

2.1 加法

定义

从定义得:

$\overrightarrow{0}$和任何向量相加都等于它本身

同时 $\overrightarrow{A} - \overrightarrow{A} = \overrightarrow{A} + (-\overrightarrow{A}) = \overrightarrow{0}$

并可得

2.2 向量数乘

对于任意实数 $\alpha \in \Re$, 有

2.3 向量的标量基

定义:


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